로또의 수학적 의미 !

로또복권 1등 당첨확률은 8,145,060 분의 1 ( 약 0.00000012 )

내가 오늘 하루 교통사고로 사망할 확률(약 0.00000034)보다 1/3 희박하고, 번개에 맞을 확률(약 0.0000007)의 1/6 희박한 확률이다.

그럼에도 로또복권의 1등 당첨자 수가 10명 이상이 나오는 이유는 무엇일까?

당연한 답변이지만, 그만큼 로또복권을 구매하는 수량이 많다는 이야기다. 2018년 2월 17일(794회차)을 기준으로 지난 100회의 로또복권 총 판매금액은 다음과 같으며 대략적으로 700억원 내외다. 

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로또복권의 1등 당첨자 수에 대한 기댓값은 (총 판매금액)÷(1,000원×8,145,060가지)으로 계산된다.

매주 평균 700억원이 판매되었다고 가정한다면,

1등 당첨자 수에 대한 기댓값은 (70,000,000,000원)÷(1,000원×8,145,060가지) ≒ 8.59명 이다.

따라서 8명 내외의 1등 당첨자가 나오는 것은 지극히 자연스러운 결과이다. 그럼에도 불구하고 지난 777회차(2017.10.21.)의 1등 당첨자 수 21명은 확률을 이해하지 못한 이들에게는 쉽게 받아들일 수 없는 결과일 것이다.

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< 제777회 로또복권 총 판매금액 755억원, 1등 당첨자 수 21명, 1등 당첨금액 약 8억원 >

이쯤해서 지난 100회(695회∼794회)에 대한 로또복권 1등 당첨자 수를 집계한 통계적 확률과 이론적으로 계산한 수학적 확률 값을 비교해보자. 물론, 수학적 확률 값은 매회 판매금액에 따라 달라지지만 여기서는 평균 700억원을 기준으로 계산해보았다.  

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로또 확률

위의 결과를 들여다보면, 당첨자 수가 다소 ‘비정상적’이라 생각할 수도 있는 4명(13번), 20명(1번), 21명(2번)이 눈에 들어온다. 하지만 임의성을 갖고 있는 시행에서 어느 정도는 이러한 결과가 나올 수 있다. 실제 위의 총 당첨자수를 구해보면 899명으로 매주 평균 당첨자수가 8.99명이다. 수학적으로 계산된 기댓값 8.59명과 별반 다를 바 없는 지극히 정상적인 결과다. 정상적으로 기대할 수 있는 당첨자보다 더 많은 20~21명의 당첨자가 나오기도 했지만, 4명과 같이 그보다 더 작은 당첨자도 나와서 ‘전체적으로는 수학적인 기대수준과 엇비슷해 졌다’는 이야기다.

그러함에도 불구하고, 로또복권의 추첨기계와 1등 당첨자 수의 결과를 쉽게 수긍할 수 없는 이들을 위하여 총 판매금액 700억원에 대한 컴퓨터 가상실험(자동구매 및 자동추첨)을 해보기로 한다.  

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700억원에 대한 가상실험 결과,

1등 당첨자수는 8명, 15명, 10명, 9명, 5명, 10명, 12명, 4명, 12명, 7명이다.

총 10번의 실험에 불과하였기에,

(Mathematica를 이용한 700억원에 대한 10번의 가상실험은 총 6분×10번=60분이 소요되었다.)

20~21명의 당첨자는 발생하지 않았지만 최소 당첨자 4명, 최대 당첨자 15명에 이르기까지 폭넓게 나타났음을 볼 수 있다. 더하여, 총 당첨자 수는 92명으로 평균 당첨자 수는 9.2명이다. 이 값 역시 수학적으로 계산된 기댓값 8.59명과도 크게 다르지 않다.

물론, 통계학적으로 더욱 정밀한 검증의 절차를 적용해볼 수도 있겠지만, 이정도 수준의 수학적 확률계산과 실제와의 비교 및 가상실험 결과로도 지난 100회의 기간 동안 발생한 로또복권의 실제 당첨자수는 정상적인 범주내의 결과라고 볼 수 있다. 

[더 알아보기] 

이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Matheatica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 써 주신 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각

수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다.

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